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<!DOCTYPE html>

<title>Spirale</title>

</head>

<h1 id="firstHeading" class="firstHeading mw-first-heading"><span class="mw-page-title-main">Spirale</span></h1>

</header>

</div>

<p>Eine <b>Spirale</b> oder <b>Schneckenlinie</b> ist im engeren Sinne eine <a href="Kurve_(Mathematik)" title="Kurve (Mathematik)">Kurve</a>, die um einen <a href="Punkt_(Geometrie)" title="Punkt (Geometrie)">Punkt</a> oder eine <a href="Rotationsachse" title="Rotationsachse">Achse</a> verläuft und sich je nach Betrachterperspektive von diesem Zentrum entfernt oder sich ihm annähert. Im erweiterten Sinne kann es sich dabei statt um einen Punkt, bzw. eine Kurve auch um andere mathematische Objekte wie zum Beispiel Zahlen, <a href="Zahlenfolge" class="mw-redirect" title="Zahlenfolge">Zahlenfolgen</a> oder mathematische Figuren handeln. Zu solchen Spiralen zählen unter anderem die <a href="Ulam-Spirale" title="Ulam-Spirale">Ulam-Spirale</a>, die <a href="Wurzelspirale" class="mw-redirect" title="Wurzelspirale">Wurzelspirale</a>, die <a href="Fibonacci-Folge" title="Fibonacci-Folge">Fibonacci-Spirale</a> oder die aus Dreiecken und Quadraten bestehende Spiralen im <a href="Pythagoras-Baum" title="Pythagoras-Baum">Pythagoras-Baum</a>.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Spirale_oder_Schraube">Spirale oder Schraube</h2></div>

<p>Die Spirale wird manchmal mit der <i><a href="Helix" title="Helix">Schraube</a></i> (auch <i>Wendel</i> oder <i>Helix</i> genannt) verwechselt. Während die <a href="Muster" title="Muster">prototypische</a> Spirale ein Gebilde in der Ebene ist, wie zum Beispiel die Rille einer Schallplatte oder die Arme einer <a href="Spiralgalaxie" title="Spiralgalaxie">Spiralgalaxie</a>, ist sowohl die Schraube als auch der Wendelbohrer ein räumliches Gebilde entlang des Hofes eines Zylinders. Auch die Abgrenzung zu einem <a href="Wirbelrad" title="Wirbelrad">Wirbelrad</a> ist letztlich unklar.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Ebene_Spiralen">Ebene Spiralen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beschreibungen">Beschreibungen</h3></div>

<p>Man kann Spiralen mathematisch am besten als Koordinatengleichungen im ebenen <a href="Polarkoordinaten" title="Polarkoordinaten">Polarkoordinatensystem</a> beschreiben, wobei <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"></span> als Funktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r(\varphi )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r(\varphi )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2fa420a7788c8a1fe01979a97723606512b0017d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.378ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r(\varphi )}" loading="lazy"></span> von <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"></span> dargestellt wird; <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"></span> läuft im Allgemeinen bis unendlich anstatt nur bis 2π. Auch negative Winkel sind möglich.

</p><p><i>Polardarstellung</i> einer Spirale:

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=r(\varphi )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/631f196b4d374c195c6f5bdfdd2ac0a33911150a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.525ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r=r(\varphi )}" loading="lazy"></span></li></ul>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></span>-<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"></span>-Koordinaten</i> werden dadurch Punkte mit der Parameterdarstellung

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/113fa49e9011194717010c20dd3027936d0e5def.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.253ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi }" loading="lazy"></span></li></ul>

<p>beschrieben.

</p><p>Ersetzt man in der Polardarstellung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"></span> durch <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi -\varphi _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi -\varphi _{0}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/43aa68dfc1320e18202873ac12c6fff7e343bc20.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.935ex; height:2.509ex;" alt="{\displaystyle \varphi -\varphi _{0}}" loading="lazy"></span>, so wird die Spirale um den Winkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi _{0}}">

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi _{0}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6cf63e8f16cefbe25d3d028fbb464a8c4a53cc7b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:2.574ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi _{0}}" loading="lazy"></span> <i>gedreht.</i> (Eventuell muss der Definitionsbereich angepasst werden.)

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beispiele">Beispiele</h3></div>

<ul><li><a href="Archimedische_Spirale" title="Archimedische Spirale">Archimedische Spirale</a>: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ r=a\varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ r=a\varphi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/ef5ef4f54a15b4958dca7d5dc9820525217ddb81.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:7.478ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ r=a\varphi }" loading="lazy"></span></li>

<li><a href="Hyperbolische_Spirale" title="Hyperbolische Spirale">Hyperbolische Spirale</a>: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ r={\tfrac {a}{\varphi }}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ r={\tfrac {a}{\varphi }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a2dbcc1a5092abe1ad6e58848dd55dbdb4cce0bf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:6.639ex; height:3.343ex;" alt="{\displaystyle \ r={\tfrac {a}{\varphi }}}" loading="lazy"></span></li>

<li><a href="Fermatsche_Spirale" title="Fermatsche Spirale">Fermatsche Spirale</a>: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ r=a{\sqrt {\varphi }}}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ r=a{\sqrt {\varphi }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/beba1c5e580c0ebe7365e61937304feaceb3dd95.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:9.414ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle \ r=a{\sqrt {\varphi }}}" loading="lazy"></span></li>

<li><a href="Lituus-Spirale" title="Lituus-Spirale">Lituus-Spirale</a>: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ r={\tfrac {a}{\sqrt {\varphi }}}}">

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ r={\tfrac {a}{\sqrt {\varphi }}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f38487c353ef4e3fbbcdb76d8837bcfd40536798.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:8.008ex; height:3.843ex;" alt="{\displaystyle \ r={\tfrac {a}{\sqrt {\varphi }}}}" loading="lazy"></span></li>

<li><a href="Logarithmische_Spirale" title="Logarithmische Spirale">Logarithmische Spirale</a>: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ r=ae^{k\varphi }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ r=ae^{k\varphi }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e9a5e20240663ac65a790a0955751bd091db14e1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.205ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \ r=ae^{k\varphi }}" loading="lazy"></span></li></ul>

<p>Die <i>archimedische Spirale</i> entsteht z. B. beim Aufwickeln eines gleichmäßig dicken Teppichs. Sie wird in der <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"></span>-<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"></span>-Ebene durch eine Gerade beschrieben.

</p><p>Die <i>hyperbolische Spirale</i> wird in der <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"></span>-<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"></span>-Ebene durch eine Hyperbel beschrieben. Sie entsteht bei der Zentralprojektion einer <a href="Schraubenlinie" class="mw-redirect" title="Schraubenlinie">Schraubenlinie</a> auf eine zur Schraubachse senkrechte Ebene (siehe Bild). Man sieht sie z. B. beim <a href="Zentralprojektion" title="Zentralprojektion">senkrechten Blick</a> durch eine <a href="Wendeltreppe" title="Wendeltreppe">Wendeltreppe</a> (siehe hierzu <a href="Schraublinie_(Darstellende_Geometrie)#Zentralprojektion" title="Schraublinie (Darstellende Geometrie)">Schraublinie (Darstellende Geometrie)</a>). Sie ist auch das Bild einer archimedischen Spirale bei einer <a href="Kreisspiegelung" title="Kreisspiegelung">Kreisspiegelung</a> (Inversion).

</p><p>Die <i>Fermatsche Spirale</i> heißt auch <i>parabolische Spirale,</i> da ihre Polargleichung eine Parabel beschreibt.

</p><p>Die <i>Lituus-Spirale</i> ist das Bild einer fermatschen Spirale bei einer Kreisspiegelung.

</p><p>Die <i>logarithmische Spirale</i> entsteht z. B. beim Wachstum von Schneckenhäusern.

Ihr Name rührt von der Auflösung ihrer Polargleichung nach <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/33ee699558d09cf9d653f6351f9fda0b2f4aaa3e.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:1.52ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \varphi }" loading="lazy"></span> her: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{k}}\cdot \ln {\tfrac {r}{a}}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{k}}\cdot \ln {\tfrac {r}{a}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/29d8ebb0ac367610efc5ca04a7a8fce7442b4af4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:12.023ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \varphi ={\tfrac {1}{k}}\cdot \ln {\tfrac {r}{a}}}" loading="lazy"></span>.

</p>

<div class="gallerytext">Hyperbolische Spirale:<br><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r={\frac {a}{\varphi }}}">

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r={\frac {a}{\varphi }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/301662c44427c06fc7e55ae36ae118cc6f4d3edf.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:6.503ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle r={\frac {a}{\varphi }}}" loading="lazy"></span></div>

</li>

<div class="gallerytext">Fermatsche Spirale:<br><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=a{\sqrt {\varphi }}}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=a{\sqrt {\varphi }}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/89a9b9da4298bd92221ad7a8dc3dd38a95580f60.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.171ex; width:8.833ex; height:3.009ex;" alt="{\displaystyle r=a{\sqrt {\varphi }}}" loading="lazy"></span></div>

</li>

<div class="gallerytext">Lituus-Spirale:<br><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {\varphi }}}}">

<mfrac>

<msqrt>

</msqrt>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {\varphi }}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0dd2000723c870f15c55e404b68370c7b8fd1289.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:8.439ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle r={\frac {a}{\sqrt {\varphi }}}}" loading="lazy"></span></div>

</li>

<div class="gallerytext">Logarithmische Spirale:<br><span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=ae^{k\varphi }}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=ae^{k\varphi }}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a1337d832eead5adda77daa3dc9c9dfb6fb30f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:8.624ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle r=ae^{k\varphi }}" loading="lazy"></span></div>

</li>

</ul>

<p>Neben diesen Spiralen gibt es noch solche, die nicht in dieses Konzept passen:

</p>

<ul><li><a href="Wurzelschnecke" title="Wurzelschnecke">Wurzelschnecke</a> (<i>Spirale des Theodorus</i>). Sie ist keine glatte Kurve, sondern ein Polygon mit den Seitenlängen 1.</li>

<li><a href="Klothoide" title="Klothoide">Klothoide</a> (<i>Cornu-Spirale</i>). Sie besitzt zwei asymptotische Punkte.</li></ul>

<div class="gallerytext">Spirale des Theodorus</div>

</li>

<div class="gallerytext">Cornu-Spirale</div>

</li>

</ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Eigenschaften">Eigenschaften</h3></div>

<dl><dt>Polarer Steigungswinkel</dt></dl>

<p>Der Winkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \alpha }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.488ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \alpha }" loading="lazy"></span>, unter dem die Spiraltangente den zugehörigen Polarkreis schneidet, heißt <i>polarer Steigungswinkel</i> und <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \tan \alpha }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \alpha }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c622cda1e123d1a43bffbc0b8c1f57530cfc4e3.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.234ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle \tan \alpha }" loading="lazy"></span> die <i>polare Steigung.</i> Aus der <a href="Polarkoordinaten#Ortsvektor,_Geschwindigkeit_und_Beschleunigung_in_Polarkoordinaten" title="Polarkoordinaten">Formel für den Tangentenvektor</a> ergibt sich

</p>

<mfrac>

<msup>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {r'}{r}}\ .}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6bf908b04f8709898d279755d02b1896dcbb4f81.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.838ex; width:12.13ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {r'}{r}}\ .}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Für eine Spirale mit der Gleichung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;r=a\varphi ^{n}\;}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;r=a\varphi ^{n}\;}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/e052f204af06b10f81ee684a6f8fd654d3938eb8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:9.406ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \;r=a\varphi ^{n}\;}" loading="lazy"></span> ist die polare Steigung

</p>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {n}{\varphi }}\ .}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/f96ee4d54abadc7b13528751aff9dbe103b68337.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:11.917ex; height:5.176ex;" alt="{\displaystyle \tan \alpha ={\frac {n}{\varphi }}\ .}" loading="lazy"></span></li></ul>

<p>Für die <i>archimedische Spirale</i> ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d9ec7e1edc2e6d98f5aec2a39ae5f1c99d1e1425.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=1}" loading="lazy"></span> und damit <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;\tan \alpha ={\tfrac {1}{\varphi }}\ .}">

<mfrac>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;\tan \alpha ={\tfrac {1}{\varphi }}\ .}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a186e6b5e4e80854a3c2fb5895dd9e3e8d4516f9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:12.116ex; height:3.676ex;" alt="{\displaystyle \;\tan \alpha ={\tfrac {1}{\varphi }}\ .}" loading="lazy"></span>

</p><p>Für die <i>logarithmische Spirale</i> ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ \tan \alpha =k\ }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ \tan \alpha =k\ }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a1686834ffc142a056f8b26e856247c9b3562167.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:11.092ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \ \tan \alpha =k\ }" loading="lazy"></span> <i>konstant.</i>

</p>

<dl><dt>Krümmung</dt></dl>

<p>Die <a href="Kr%C3%BCmmung#Ebene_Kurven" title="Krümmung">Krümmung</a> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \kappa }">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/54ddec2e922c5caea4e47d04feef86e782dc8e6d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.339ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle \kappa }" loading="lazy"></span> einer Kurve in Polardarstellung ist

</p>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\;r''}{(r^{2}+(r')^{2})^{3/2}}}\ .}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2004aef618f8c09e8f9b25e9fe3abb31bd08d9b8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:23.924ex; height:6.843ex;" alt="{\displaystyle \kappa ={\frac {r^{2}+2(r')^{2}-r\;r''}{(r^{2}+(r')^{2})^{3/2}}}\ .}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Für eine Spirale mit der Gleichung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=a\varphi ^{n}}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=a\varphi ^{n}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/38c276b0426396d0348f35e634ead2e822a79935.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.116ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r=a\varphi ^{n}}" loading="lazy"></span> ergibt sich

</p>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa =\dotsb ={\frac {1}{a\varphi ^{n-1}}}{\frac {\varphi ^{2}+n^{2}+n}{(\varphi ^{2}+n^{2})^{3/2}}}\ .}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0a9ee52164b3d60b7debaa745427b26d31890860.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:31.599ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle \kappa =\dotsb ={\frac {1}{a\varphi ^{n-1}}}{\frac {\varphi ^{2}+n^{2}+n}{(\varphi ^{2}+n^{2})^{3/2}}}\ .}" loading="lazy"></span></li></ul>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n=1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d9ec7e1edc2e6d98f5aec2a39ae5f1c99d1e1425.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.656ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle n=1}" loading="lazy"></span> <i>(archimedische Spirale)</i>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \kappa ={\tfrac {\varphi ^{2}+2}{a(\varphi ^{2}+1)^{3/2}}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c6e895cb43074b50685ed1f4a5ace6a2cbdb9715.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.338ex; width:13.596ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \kappa ={\tfrac {\varphi ^{2}+2}{a(\varphi ^{2}+1)^{3/2}}}}" loading="lazy"></span>. Die Spirale hat also keinen Wendepunkt.

</p><p>Die Krümmung einer <i>logarithmischen Spirale</i> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56f0272e71ddf4183186c5d609971ec1fea787f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.914ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}" loading="lazy"></span> ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;\kappa ={\tfrac {1}{r{\sqrt {1+k^{2}}}}}\;.}">

<mfrac>

<mrow>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;\kappa ={\tfrac {1}{r{\sqrt {1+k^{2}}}}}\;.}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c5d3e44833498bbad80cedbaaf79f6b1439e8fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.171ex; width:13.384ex; height:5.509ex;" alt="{\displaystyle \;\kappa ={\tfrac {1}{r{\sqrt {1+k^{2}}}}}\;.}" loading="lazy"></span>

</p>

<dl><dt>Sektorfläche</dt></dl>

<p>Die Fläche eines Kurvensektors einer Kurve in Polardarstellung ist

</p>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}r(\varphi )^{2}\;d\varphi \ .}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/dae169a3082334737ebaaa58d206497af2a3aa49.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:22.258ex; height:6.343ex;" alt="{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}r(\varphi )^{2}\;d\varphi \ .}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Für eine Spirale mit der Gleichung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=a\varphi ^{n}\;}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=a\varphi ^{n}\;}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a1019858eeea0c8bfd801d410869906201b68b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.761ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r=a\varphi ^{n}\;}" loading="lazy"></span> ergibt sich

</p>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

</mrow>

</msubsup>

</mrow>

<mtext>falls</mtext>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}a^{2}\varphi ^{2n}\;d\varphi ={\frac {a^{2}}{2(2n+1)}}{\big (}\varphi _{2}^{2n+1}-\varphi _{1}^{2n+1}{\big )}\ ,\quad {\text{falls}}\quad n\neq -{\frac {1}{2}},}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d212052ac6c463c41802a1ace12c416762f860f5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:70.493ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}a^{2}\varphi ^{2n}\;d\varphi ={\frac {a^{2}}{2(2n+1)}}{\big (}\varphi _{2}^{2n+1}-\varphi _{1}^{2n+1}{\big )}\ ,\quad {\text{falls}}\quad n\neq -{\frac {1}{2}},}" loading="lazy"></span></li>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<mfrac>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

<mtext>falls</mtext>

</mrow>

<mfrac>

</mfrac>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {a^{2}}{\varphi }}\;d\varphi ={\frac {a^{2}}{2}}(\ln \varphi _{2}-\ln \varphi _{1})\ ,\quad {\text{falls}}\quad n=-{\frac {1}{2}}\ .}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6eb6d37d66386640e02db81607bc2399e21c77f6.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -2.838ex; width:59.26ex; height:6.676ex;" alt="{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\frac {a^{2}}{\varphi }}\;d\varphi ={\frac {a^{2}}{2}}(\ln \varphi _{2}-\ln \varphi _{1})\ ,\quad {\text{falls}}\quad n=-{\frac {1}{2}}\ .}" loading="lazy"></span></li></ul>

<p>Die Sektorfläche einer <i>logarithmischen Spirale</i> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56f0272e71ddf4183186c5d609971ec1fea787f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.914ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}" loading="lazy"></span> ist

<mfrac>

<mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<mrow>

</mrow>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ A={\tfrac {r(\varphi _{2})^{2}-r(\varphi _{1})^{2})}{4k}}\ .}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b858cced7a712b2fe4b768338a92a82a9a81635c.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:18.922ex; height:4.676ex;" alt="{\displaystyle \ A={\tfrac {r(\varphi _{2})^{2}-r(\varphi _{1})^{2})}{4k}}\ .}" loading="lazy"></span>

</p>

<dl><dt>Bogenlänge</dt></dl>

<p>Die Länge eines Bogens einer Kurve in Polardarstellung ist

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munderover>

<msqrt>

<msup>

<mrow>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

</mrow>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}}\,\mathrm {d} \varphi \ .}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1c700e397690c25848b0145ceb20606c851a9eb9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:30.654ex; height:9.343ex;" alt="{\displaystyle L=\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {\left(r^{\prime }(\varphi )\right)^{2}+r^{2}(\varphi )}}\,\mathrm {d} \varphi \ .}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>Für eine Spirale mit der Gleichung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r=a\varphi ^{n}\;}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r=a\varphi ^{n}\;}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7a1019858eeea0c8bfd801d410869906201b68b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:8.761ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r=a\varphi ^{n}\;}" loading="lazy"></span> ergibt sich

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</msubsup>

<msqrt>

<mfrac>

<mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mfrac>

</mrow>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</munderover>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle L=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}r^{2}}{\varphi ^{2}}}+r^{2}}}\;d\varphi =a\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\varphi ^{n-1}{\sqrt {n^{2}+\varphi ^{2}}}d\varphi \ .}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/00e7de46597f811a2e437f67d14e8e596106e7fa.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -4.338ex; width:52.436ex; height:9.343ex;" alt="{\displaystyle L=\int _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}{\sqrt {{\frac {n^{2}r^{2}}{\varphi ^{2}}}+r^{2}}}\;d\varphi =a\int \limits _{\varphi _{1}}^{\varphi _{2}}\varphi ^{n-1}{\sqrt {n^{2}+\varphi ^{2}}}d\varphi \ .}" loading="lazy"></span></li></ul>

<p>Diese Integrale sind nicht mehr für alle <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle n}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle n}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a601995d55609f2d9f5e233e36fbe9ea26011b3b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.395ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle n}" loading="lazy"></span> geschlossen lösbar. Im Fall der fermatschen Spirale ergibt sich ein <a href="Elliptisches_Integral" class="mw-redirect" title="Elliptisches Integral">elliptisches Integral</a>.

</p><p>Die Bogenlänge einer <i>logarithmischen Spirale</i> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}">

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/56f0272e71ddf4183186c5d609971ec1fea787f4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:9.914ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \;r=ae^{k\varphi }\;}" loading="lazy"></span> ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \ L={\tfrac {\sqrt {k^{2}+1}}{k}}{\big (}r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}\ .}">

<mfrac>

<msqrt>

<msup>

</mrow>

</msup>

</msqrt>

</mfrac>

</mstyle>

</mrow>

</mrow>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \ L={\tfrac {\sqrt {k^{2}+1}}{k}}{\big (}r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}\ .}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/c05cd0cf8c2f5ea582a4655fc740c7326d66e9a7.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -1.338ex; width:28.592ex; height:5.676ex;" alt="{\displaystyle \ L={\tfrac {\sqrt {k^{2}+1}}{k}}{\big (}r(\varphi _{2})-r(\varphi _{1}){\big )}\ .}" loading="lazy"></span>

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Beschränkte_Spiralen"><span id="Beschr.C3.A4nkte_Spiralen"></span>Beschränkte Spiralen</h3></div>

<p>Die Funktion <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r(\varphi )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r(\varphi )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2fa420a7788c8a1fe01979a97723606512b0017d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.378ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r(\varphi )}" loading="lazy"></span> einer Spirale ist üblicherweise eine <a href="Streng_monoton" class="mw-redirect" title="Streng monoton">streng monotone</a>, <a href="Stetige_Funktion" title="Stetige Funktion">stetige Funktion</a> und <a href="Beschr%C3%A4nkte_Funktion" class="mw-redirect" title="Beschränkte Funktion">unbeschränkt</a>. In den Standardbeispielen ist <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r(\varphi )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r(\varphi )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2fa420a7788c8a1fe01979a97723606512b0017d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.378ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r(\varphi )}" loading="lazy"></span> eine Potenzfunktion oder eine Exponentialfunktion. Man kann allerdings für <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r(\varphi )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r(\varphi )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/2fa420a7788c8a1fe01979a97723606512b0017d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.378ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle r(\varphi )}" loading="lazy"></span> auch eine <i>beschränkte</i> streng monotone Funktion wählen und erhält damit dann eine <i>beschränkte</i> Spirale. Eine hierfür geeignete Funktion ist der <a href="Arkustangens" class="mw-redirect" title="Arkustangens">Arkustangens</a>:

</p>

<dl><dt>Beispiel 1</dt></dl>

<p>Setzt man <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;r=a\arctan(k\varphi )\;}">

<mi>arctan</mi>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;r=a\arctan(k\varphi )\;}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0e4860ff38d3291ac1dbc8b30dd6ab89fb2270b9.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:18.061ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \;r=a\arctan(k\varphi )\;}" loading="lazy"></span> und wählt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;k=1/10,\;a=4,\;\varphi \geq 0}">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;k=1/10,\;a=4,\;\varphi \geq 0}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/d896fe2376da3dc52836e1db6e19c3cc473c1c69.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:24.235ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \;k=1/10,\;a=4,\;\varphi \geq 0}" loading="lazy"></span>, erhält man eine Spirale, die <i>im Ursprung beginnt</i> (wie die archimedische Spirale) und sich dem Kreis mit Radius <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;r=2\pi \;}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;r=2\pi \;}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a10bf9114adad028a6f6fd8c1da0a683cc0c265.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.932ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \;r=2\pi \;}" loading="lazy"></span> annähert (im Bild links).

</p>

<dl><dt>Beispiel 2</dt></dl>

<p>Setzt man <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;r=a(\arctan(k\varphi )+\pi /2)\;}">

<mi>arctan</mi>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;r=a(\arctan(k\varphi )+\pi /2)\;}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3ae812ff7efdbf7fe7e509fd174662301553455f.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:25.981ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \;r=a(\arctan(k\varphi )+\pi /2)\;}" loading="lazy"></span> und wählt <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;k=1/5,\;a=2,\;-\infty <\varphi <\infty }">

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;k=1/5,\;a=2,\;-\infty <\varphi <\infty }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3418b656a0cc0ad60932e35079967ecec65fb5d1.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:31.464ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \;k=1/5,\;a=2,\;-\infty <\varphi <\infty }" loading="lazy"></span>, erhält man eine Spirale, die sich dem <i>Ursprung nähert</i> (wie die hyperbolische Spirale) und sich dem Kreis mit Radius <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;r=2\pi \;}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;r=2\pi \;}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/4a10bf9114adad028a6f6fd8c1da0a683cc0c265.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:7.932ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle \;r=2\pi \;}" loading="lazy"></span> annähert (im Bild rechts).

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Räumliche_Spiralen"><span id="R.C3.A4umliche_Spiralen"></span>Räumliche Spiralen</h2></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Konische_Spiralen">Konische Spiralen</h3></div>

<div class="hauptartikel" role="navigation"><span class="hauptartikel-pfeil" title="siehe" aria-hidden="true" role="presentation">→ </span><i><span class="hauptartikel-text">Hauptartikel</span>: <a href="Konische_Spirale" title="Konische Spirale">Konische Spirale</a></i></div>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.33ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle x}" loading="lazy"></span>-<span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle y}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle y}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:1.155ex; height:2.009ex;" alt="{\displaystyle y}" loading="lazy"></span>-Ebene durch die Parameterdarstellung

</p>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi }</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/113fa49e9011194717010c20dd3027936d0e5def.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:34.253ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi }" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>eine ebene Spirale gegeben, so kann man eine dritte Koordinate <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle z(\varphi )}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle z(\varphi )}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/9b1cd0a3b2c929c890cc62109913f331cda54846.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:4.418ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle z(\varphi )}" loading="lazy"></span> so anfügen, dass die dadurch entstehende räumliche Kurve auf dem senkrechten <a href="Kreiskegel" class="mw-redirect" title="Kreiskegel">Kreiskegel</a> mit der Gleichung <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;m^{2}(x^{2}+y^{2})=(z-z_{0})^{2}\ ,\ c>0\;}">

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msup>

</mrow>

</msup>

<msub>

</mrow>

</msub>

<msup>

</mrow>

</msup>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;m^{2}(x^{2}+y^{2})=(z-z_{0})^{2}\ ,\ c>0\;}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/a7af87110c16abb0e3205130fc92dd3140dcb31a.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:33.122ex; height:3.176ex;" alt="{\displaystyle \;m^{2}(x^{2}+y^{2})=(z-z_{0})^{2}\ ,\ c>0\;}" loading="lazy"></span> liegt:

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \ ,\qquad \color {red}{z=z_{0}+mr(\varphi )}\ .}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/94d26defb57252548819e48c874fa8a92f55dc9b.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:57.322ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle x=r(\varphi )\cos \varphi \ ,\qquad y=r(\varphi )\sin \varphi \ ,\qquad \color {red}{z=z_{0}+mr(\varphi )}\ .}" loading="lazy"></span></li></ul>

<p>Spiralen dieser Art nennt man <b>konische Spiralen.</b><sup id="cite_ref-1" class="reference"><a href="#cite_note-1"><span class="cite-bracket">[</span>1<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Sie waren auch schon <a href="Pappos" title="Pappos">Pappos</a> bekannt.

</p>

<dl><dt>Beispiel</dt></dl>

<p>Geht man von einer <i>archimedischen Spirale</i> <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;r(\varphi )=a\varphi \;}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;r(\varphi )=a\varphi \;}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/fdf4b4e5247d29a2bca680ad5dd67ee9562df9ab.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:11.517ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle \;r(\varphi )=a\varphi \;}" loading="lazy"></span> aus, erhält man die konische Spirale (siehe Bild)

</p>

<msub>

</mrow>

</msub>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle x=a\varphi \cos \varphi \ ,\qquad y=a\varphi \sin \varphi \ ,\qquad z=z_{0}+ma\varphi \ ,\quad \varphi \geq 0\ .}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/6a99db3d4281727b1dd564fdf0ca30b3057f3ec8.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:62.155ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle x=a\varphi \cos \varphi \ ,\qquad y=a\varphi \sin \varphi \ ,\qquad z=z_{0}+ma\varphi \ ,\quad \varphi \geq 0\ .}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>In diesem Fall kann man die konische Spirale auch als Schnittkurve eines Kegels und einer <a href="Wendelfl%C3%A4che" title="Wendelfläche">Wendelfläche</a> auffassen.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Kugelspiralen">Kugelspiralen</h3></div>

<p>Stellt man eine Kugel mit Radius <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle r}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle r}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/0d1ecb613aa2984f0576f70f86650b7c2a132538.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:1.049ex; height:1.676ex;" alt="{\displaystyle r}" loading="lazy"></span> in Kugelkoordinaten dar:

</p>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\y&=r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\z&=r\cdot \cos \theta \end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/424115158f5e982fe24ba040d513e3ec4c1bf363.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.838ex; width:18.938ex; height:8.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cdot \sin \theta \cdot \cos \varphi \\y&=r\cdot \sin \theta \cdot \sin \varphi \\z&=r\cdot \cos \theta \end{aligned}}}" loading="lazy"></span></dd></dl>

<p>und gibt eine lineare Abhängigkeit der Winkel <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;\varphi =c\theta ,\;c>2\;}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;\varphi =c\theta ,\;c>2\;}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/daa240dab250fce964d80f5bee7fbde2b930aac0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:14.953ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \;\varphi =c\theta ,\;c>2\;}" loading="lazy"></span>

vor, so erhält man eine <b>Kugelspirale</b><sup id="cite_ref-2" class="reference"><a href="#cite_note-2"><span class="cite-bracket">[</span>2<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> mit der Parameterdarstellung

</p>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mstyle>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mstyle>

</mrow>

</mtd>

</mtr>

<mtr>

<mtd>

</mtd>

<mtd>

</mtd>

</mtr>

</mtable>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cdot \sin \theta \cdot \cos {\color {red}c\theta }\\y&=r\cdot \sin \theta \cdot \sin {\color {red}c\theta }\\z&=r\cdot \cos \theta \qquad \qquad 0\leq \theta \leq \pi \ .\end{aligned}}}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/1817ee84059965d38492ba02789a3aa0335b22b0.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -3.838ex; width:32.796ex; height:8.843ex;" alt="{\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cdot \sin \theta \cdot \cos {\color {red}c\theta }\\y&=r\cdot \sin \theta \cdot \sin {\color {red}c\theta }\\z&=r\cdot \cos \theta \qquad \qquad 0\leq \theta \leq \pi \ .\end{aligned}}}" loading="lazy"></span></li></ul>

<p>Auch Kugelspiralen wurden schon von Pappus untersucht. Sie sind spezielle <a href="Clelia-Kurve" title="Clelia-Kurve">Clelia-Kurven</a>.

</p><p>Lässt man <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle c=1}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle c=1}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/3e3467f9e219a5ea38a30da5c3a02c2c23f61a79.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.338ex; width:5.268ex; height:2.176ex;" alt="{\displaystyle c=1}" loading="lazy"></span> also <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle \;\varphi =\theta \;}">

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle \;\varphi =\theta \;}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/06599e8eb5b59b9cfd1a98c8eafab2ca0a82c264.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.838ex; width:6.999ex; height:2.676ex;" alt="{\displaystyle \;\varphi =\theta \;}" loading="lazy"></span> zu, erhält man eine <a href="Vivianische_Kurve" class="mw-redirect" title="Vivianische Kurve">vivianische Kurve</a>.

</p><p>Man beachte: Eine <a href="Loxodrome" title="Loxodrome">Loxodrome</a> ist <i>keine</i> Kugelspirale in dem hier erklärten Sinne.

</p>

<div class="gallerytext">Kugelspirale</div>

</li>

<div class="gallerytext">Loxodrome</div>

</li>

</ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Zahlenspiralen">Zahlenspiralen</h2></div>

<p>Hierzu gehören Spiralen, bei denen statt einer Kurve eine Folge von Zahlen betrachtet wird. Neben der schon eingangs genannten Ulam-Spirale verdeutlicht beispielsweise die nachfolgende Zahlenspirale eine Reihe besonderer Zusammenhänge zwischen <a href="Nat%C3%BCrliche_Zahl" title="Natürliche Zahl">natürlichen Zahlen</a>.

</p><p>Die Abbildung zeigt eine Zahlenspirale, in der die ersten 99 natürlichen Zahlen einschließlich der Null eingetragen sind, mit den nachfolgenden Eigenschaften.

</p>

<ul><li>Die geraden bzw. ungeraden Zahlen sind <a href="Schachbrettmuster" title="Schachbrettmuster">schachbrettartig</a> verteilt, d. h. die diagonal verlaufenden Kästchenreihen sind abwechselnd mit geraden bzw. ungeraden Zahlen belegt.</li>

<li>Die Quadrate der geraden Zahlen liegen auf dem rot gekennzeichneten und die Quadrate der ungeraden Zahlen auf dem gelb gekennzeichneten Diagonalenteil.</li>

<li>Springt man von einer Zahl in den grün gekennzeichneten Diagonalenteilen waagerecht und senkrecht jeweils zu den rot und gelb gekennzeichneten Feldern, die an die Spirale angrenzen, so bildet die Zahl auf dem grünen Feld das <a href="Geometrisches_Mittel" title="Geometrisches Mittel">geometrische Mittel</a> der beiden Zahlen auf dem roten und gelben Feld, wobei die betreffenden Faktoren stets aufeinander folgen.</li></ul>

<dl><dd>Beispiel: <span class="mwe-math-element mwe-math-element-inline"><span class="mwe-math-mathml-inline mwe-math-mathml-a11y" style="display: none;"><math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="{\displaystyle 30={\sqrt {25\cdot 36}}=5\cdot 6}">

<msqrt>

</msqrt>

</mrow>

</mstyle>

</mrow>

<annotation encoding="application/x-tex">{\displaystyle 30={\sqrt {25\cdot 36}}=5\cdot 6}</annotation>

</semantics>

</math></span><img src="./_assets_/eb734a37dd21ce173a46342d1cc64c92/7bdae4872157a680733302affb0d7671528150e5.svg" class="mwe-math-fallback-image-inline mw-invert skin-invert" aria-hidden="true" style="vertical-align: -0.671ex; width:20.791ex; height:2.843ex;" alt="{\displaystyle 30={\sqrt {25\cdot 36}}=5\cdot 6}" loading="lazy"></span>.</dd></dl>

<ul><li>Die Zahlen in der grün gekennzeichneten Diagonale (einschließlich der Null) bilden eine <a href="Arithmetische_Folge#Arithmetische_Folgen_höherer_Ordnung" title="Arithmetische Folge">arithmetische Folge zweiter Ordnung</a>.<sup id="cite_ref-Walser_3-0" class="reference"><a href="#cite_note-Walser-3"><span class="cite-bracket">[</span>3<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="In_der_Kunst">In der Kunst</h2></div>

<p>Anders als in der Natur und in den meisten geometrischen Konstrukten kommen in der Kunst auch ein- und auswärts gewendete Doppelspiralen vor.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Vorgeschichte_und_Antike">Vorgeschichte und Antike</h3></div>

<p>Spiralen tauchen bereits in vor- und frühgeschichtlicher Zeit als häufiges <a href="Ornament" title="Ornament">Ornamentmotiv</a> auf Stein und <a href="Keramik" title="Keramik">Keramik</a> auf. Beispiele finden sich in der <a href="Bandkeramik" class="mw-redirect" title="Bandkeramik">Bandkeramik</a> der Jungsteinzeit, aber auch in den frühen Hochkulturen <a href="Altes_%C3%84gypten" title="Altes Ägypten">Ägyptens</a>, <a href="Kreta" title="Kreta">Kretas</a> und <a href="Chinesisches_Altertum" title="Chinesisches Altertum">Chinas</a>. In Europa sind Spiralmotive von den <a href="Megalithkultur" title="Megalithkultur">Megalithkulturen</a> über die <a href="Bronzezeit" title="Bronzezeit">Bronzezeit</a> bis zur frühen <a href="Eisenzeit" title="Eisenzeit">Eisenzeit</a> sowie bei den <a href="Kelten" title="Kelten">Kelten</a> und <a href="Germanen" title="Germanen">Germanen</a> verbreitet und erscheinen auch auf <a href="Iberer" title="Iberer">iberischer</a> Keramik.

</p><p>

Spiralen vermitteln eine Vorstellung von Unendlichkeit, sie können aber auch unheilabwehrend (<a href="Apotrop%C3%A4isch" class="mw-redirect" title="Apotropäisch">apotropäisch</a>) gemeint sein oder sogar als Stammeszeichen fungieren.<sup id="cite_ref-kunstlexikon_4-0" class="reference"><a href="#cite_note-kunstlexikon-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup></p><div style="clear:both;"></div>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Tripel-_und_Mehrfachspiralen">Tripel- und Mehrfachspiralen</h3></div>

<p>In der <a href="Kirche_von_Vallstena" title="Kirche von Vallstena">Kirche von Vallstena</a> wurde ein <a href="Gotl%C3%A4ndische_Bildsteine" title="Gotländische Bildsteine">gotländischer Bildstein</a> gefunden, dessen Mittelteil mit einem vierfachen Spiralornament verziert ist. Das Zeichen, das als Tripelspirale wesentlich älter ist und ansatzweise im <a href="Ganggrab" title="Ganggrab">Passage tomb</a> von <a href="Newgrange" title="Newgrange">Newgrange</a> in Irland vorkommt, ist auf <a href="Gotland" title="Gotland">Gotland</a> als 4-, 6- und 7-fache Kombination anzutreffen. Auch stilisierte Tierköpfe sowie realistischere Bilder von Menschen und Tieren sind bisweilen mit diesem geometrischen Motiv vereint. Es handelt sich bei der Spirale, ebenso wie beim <a href="Wirbelrad" title="Wirbelrad">Wirbelrad</a>, vermutlich um ein <a href="Sonnensymbol" title="Sonnensymbol">Sonnensymbol</a> oder die Darstellung einer Göttervielheit. Farbe unterstützte das flache, aber fein gehauene Ornament und hob die Darstellung hervor. Das Spiralmotiv kommt in verschiedener Form und Komposition auf den älteren Steinen, die zwischen 400 und 600 n. Chr. entstanden, vor. Spiralmotive tauchen aber sowohl früher als auch später in verschiedenen Fundzusammenhängen auf. Auf den <a href="Britische_Inseln" title="Britische Inseln">Britischen Inseln</a> sind sie um Christi Geburt verbreitet, und in der mehrere Jahrhunderte jüngeren spätkeltischen Kunst können sie in frühchristlichen Handschriften studiert werden. Diese Kunst steht den Bildsteinen zeitlich näher; es ist daher vermutet worden, dass ein gewisser Zusammenhang besteht.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Spiralmotive_im_Mittelalter">Spiralmotive im Mittelalter</h3></div>

<p>In der europäischen Kunst des Mittelalters (<a href="Romanik" title="Romanik">Romanik</a> und <a href="Gotik" title="Gotik">Gotik</a>) sind Spiralmotive eher selten anzutreffen, obwohl – vor allem im gotischen <a href="Ma%C3%9Fwerk" title="Maßwerk">Maßwerk</a> – geometrische Spiele <i>(ludi geometrici)</i> häufig waren und in der Spätgotik auch zu zentrierten und gezogenen Dreipassformen führten, die Erinnerungen an ältere Spiralmotive wachrufen. Dagegen nehmen <a href="Labyrinth" title="Labyrinth">Labyrinthe</a>, <a href="Flechtband" title="Flechtband">Flechtbänder</a>, <a href="Rankenwerk" class="mw-redirect" title="Rankenwerk">Rankenwerk</a> und andere gewundene, aber sehr oft auch – anders als bei den Spiralen – sich überschneidende Dekormotive an Zahl zu. Im <a href="Tympanon_(Architektur)" title="Tympanon (Architektur)">Tympanonfeld</a> der Kirche von <a href="Bembrive" title="Bembrive">Bembrive</a> (<a href="Provinz_Pontevedra" title="Provinz Pontevedra">Provinz Pontevedra</a>, Spanien) sind drei Spiralen zu sehen; die Stirnseite des inneren Portalbogens der Kirche von <a href="San_Pedro_de_Ga%C3%ADllos" title="San Pedro de Gaíllos">San Pedro de Gaíllos</a> (<a href="Provinz_Segovia" title="Provinz Segovia">Provinz Segovia</a>, Spanien) zeigt – neben Rosetten und Wirbeln – auch kleine Spiralen. An mittelalterlichen Tür- und Truhenbeschlägen findet man sie häufiger – dort entwickeln sie sich jedoch aus geraden Bändern.

</p>

<div class="gallerytext">Kapitell in <a href="Swartnoz" title="Swartnoz">Swartnoz</a>, <a href="Armenien" title="Armenien">Armenien</a> (7. Jh.)</div>

</li>

<div class="gallerytext">Portal der Kirche von <a href="San_Pedro_de_Ga%C3%ADllos" title="San Pedro de Gaíllos">San Pedro de Gaíllos</a>, Detail</div>

</li>

<div class="gallerytext"><a href="Tympanon_(Architektur)" title="Tympanon (Architektur)">Tympanonfeld</a> der Kirche von <a href="Bembrive" title="Bembrive">Bembrive</a></div>

</li>

<div class="gallerytext">Kapitell der Kirche von <a href="Franchesse" title="Franchesse">Franchesse</a></div>

</li>

<div class="gallerytext">Spiralförmige Beschläge an der Tür der Kirche von <a href="Navata_(Girona)" title="Navata (Girona)">Navata</a></div>

</li>

<div class="gallerytext">Spiralförmige Beschläge an der Tür der Kirche von <a href="Prats-de-Mollo-la-Preste" title="Prats-de-Mollo-la-Preste">Prats-de-Mollo-la-Preste</a></div>

</li>

</ul>

<div class="mw-heading mw-heading3"><h3 id="Renaissance,_Barock,_Jugendstil"><span id="Renaissance.2C_Barock.2C_Jugendstil"></span>Renaissance, Barock, Jugendstil</h3></div>

<p>In der Renaissance fand die Spirale Einzug in die <a href="Arabeske" title="Arabeske">Arabeske</a> und <a href="Groteske" title="Groteske">Groteske</a>, in der Architektur ist sie in der <a href="Volute" title="Volute">Volute</a> sowie im <a href="Rollwerk" title="Rollwerk">Rollwerk</a> und im <a href="Manierismus" title="Manierismus">Manierismus</a> in der charakteristischen <i><a href="Figura_serpentinata" title="Figura serpentinata">figura serpentinata</a></i> anzutreffen.<sup id="cite_ref-kunstlexikon_4-1" class="reference"><a href="#cite_note-kunstlexikon-4"><span class="cite-bracket">[</span>4<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Späte Höhepunkte erleben Spiralen in den Voluten der Barockzeit und im <a href="Jugendstil" title="Jugendstil">Jugendstil</a> (z. B. bei <a href="Gustav_Klimt" title="Gustav Klimt">Gustav Klimt</a>).

</p><p><a href="Friedensreich_Hundertwasser" title="Friedensreich Hundertwasser">Friedensreich Hundertwasser</a> verwendete in seinem eigenen Kunststil die Spirale als Symbol von Geburt und Tod gleichermaßen und liebte sie, da sie der geraden Linie entgegenwirkte.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Sozialwissenschaften">Sozialwissenschaften</h2></div>

<p>In der <a href="Meinungsforschung" title="Meinungsforschung">Demoskopie</a> wurde die <a href="Metapher" title="Metapher">Metapher</a> „<a href="Schweigespirale" title="Schweigespirale">Schweigespirale</a>“ von <a href="Elisabeth_Noelle-Neumann" title="Elisabeth Noelle-Neumann">Elisabeth Noelle-Neumann</a> benutzt, um ein bestimmtes gegenseitiges sich Aufschaukeln von <a href="Sozialwissenschaft" class="mw-redirect" title="Sozialwissenschaft">sozialen</a> Reaktionen zu erklären und zugleich zu bekämpfen: In der <a href="%C3%96ffentliche_Meinung" title="Öffentliche Meinung">öffentlichen Meinung</a> würden gewisse Minderheitenstandpunkte so nachdrücklich vertreten, dass die Mehrheit zögere, sich überhaupt zu äußern, darauf würde die Minderheit immer <a href="Diktatur" title="Diktatur">diktatorischer</a> und die Mehrheit immer stummer usw. Empirisch ist dieser Zusammenhang sehr schwer zu überprüfen.

</p><p>Allgemein wird bei jedem Mechanismus, der eine Eskalation des Zustandes bewirkt, von einer Spirale gesprochen, etwa „Spirale der Gewalt“. In der <a href="Systemwissenschaft" title="Systemwissenschaft">Systemwissenschaft</a> zeigen harmonische Oszillatoren, die exponentiell anwachsen (eskalieren), logarithmische Spiralen in ihren <a href="Phasenraum" title="Phasenraum">Phasenraumdiagrammen</a> <i>(Eskalationsspiralen).</i> Daher ist dieser Begriff mathematisch korrekter als der synonym gebrauchte Begriff „<a href="Teufelskreis" title="Teufelskreis">Teufelskreis</a>“, der keine Eskalation der Zustände beinhaltet.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="In_der_Natur">In der Natur</h2></div>

<p>Viele <a href="Pflanzen" class="mw-redirect" title="Pflanzen">Pflanzen</a> und manche Tiere weisen in ihrem Bauplan spiralige Strukturen auf wie zum Beispiel das <a href="Schneckenhaus" title="Schneckenhaus">Schneckenhaus</a>.<sup id="cite_ref-Brunner_5-0" class="reference"><a href="#cite_note-Brunner-5"><span class="cite-bracket">[</span>5<span class="cite-bracket">]</span></a></sup> Fossile Beispiele sind die <a href="Ammoniten" title="Ammoniten">Ammoniten</a>. Die „Anordnung“ dieser biologisch erzeugten Spiralen, die meistens auf logarithmischen Spiralen beruhen, erfolgt wiederum in den allermeisten Fällen als <a href="Fibonacci-Folge" title="Fibonacci-Folge">Fibonacci-Folge</a>.

</p><p>Weiters – oft dreidimensional verbunden mit <a href="Chiralit%C3%A4t_(Mathematik)" title="Chiralität (Mathematik)">Chiralität</a>:

</p>

<ul><li><a href="H%C3%B6rschnecke" title="Hörschnecke">Hörschnecke</a> (lateinisch Cochlea) des Gehörorgans im Innenohr von Säugetieren</li>

<li>Das Horn mancher Arten von <a href="Schafe" title="Schafe">Schafen</a></li></ul>

<div class="gallerytext">Farnblatt</div>

</li>

<div class="gallerytext">Schneckenhaus</div>

</li>

<div class="gallerytext">Sonnenblume</div>

</li>

<div class="gallerytext">Chamäleon</div>

</li>

</ul>

<p>In der Physik vollführt ein elektrisch geladenes Teilchen, das sich in einem Magnetfeld bewegt, eine Spiralbahn. Voraussetzung ist, dass sich das Teilchen nicht parallel, antiparallel oder quer zur Nord-Süd-Ausrichtung des Magnetfeldes bewegt. Die Kraft, die das Teilchen auf eine spiralförmige Bahn zwingt, heißt <a href="Lorentzkraft" title="Lorentzkraft">Lorentzkraft</a>. Streng genommen ist diese Flugbahn aber eine <a href="Helix" title="Helix">Schraubenlinie</a>. Bei der Bewegung parallel oder antiparallel zur Nord-Süd-Ausrichtung des Magnetfeldes entsteht eine gerade Flugbahn, und bei der Bewegung quer zur Nord-Süd-Ausrichtung des Magnetfeldes entsteht eine Kreisbahn. Wenn ein elektrisch geladenes Teilchen auf einer solchen Kreisbahn Energie durch elektromagnetische Strahlung abgibt, dann bewegt es sich auf einer immer enger werdenden Spiralbahn. Die schraubenförmige Flugbahn des elektrisch geladenen Teilchens ist eine Überlagerung einer geraden Flugbahn, und einer Kreisbahn. Bei Energieverlusten durch elektromagnetische Strahlung, und auch in inhomogenen Magnetfeldern, entstehen konische Spiralen aus der Überlagerung von Schraube und Spirale.

</p>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Weblinks">Weblinks</h2></div>

<div class="sisterproject" style="margin:0.1em 0 0 0;"><div class="noresize noviewer" style="display:inline-block; line-height:10px; min-width:1.6em; text-align:center;" aria-hidden="true" role="presentation"><span class="mw-default-size" typeof="mw:File"><span title="Commons"></span></span></div><b><span class=""><a class="external text" href="https://commons.wikimedia.org/wiki/Category:Spirals?uselang=de"><span lang="en">Commons</span>: Spiralen und Schrauben</a></span></b> – Sammlung von Bildern, Videos und Audiodateien</div>

<ul><li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathematische-basteleien.de/spirale.htm"><i>Mathematische Basteleien: Spiralen.</i></a> Auf: <i>Mathematische-Basteleien.de.</i></li>

<li><a rel="nofollow" class="external text" href="http://maven.smith.edu/~phyllo/"><i>Beispiele für Spiralen im Pflanzenreich.</i></a> Auf: <i>Maven.Smith.edu.</i></li>

<li>Vi Hart: <a rel="nofollow" class="external text" href="https://www.youtube.com/watch?v=ahXIMUkSXX0"><i>Doodling in Math: Spirals, Fibonacci, and Being a Plant.</i></a> Auf: <i>YouTube.com.</i></li>

<li><a href="Wenzel_Jamnitzer" title="Wenzel Jamnitzer">Jamnitzer</a>-Galerie: <i><a rel="nofollow" class="external text" href="http://www.mathe.tu-freiberg.de/~hebisch/cafe/jamnitzer/galerie7g.html">3D-Spiralen.</a></i></li></ul>

<div class="mw-heading mw-heading2"><h2 id="Einzelnachweise">Einzelnachweise</h2></div>

<li id="cite_note-1"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-1">↑</a></span> <span class="reference-text">Siegmund Günther, Anton Edler von Braunmühl, Heinrich Wieleitner: <i>Geschichte der Mathematik.</i> G. J. Göschen, 1921, S. 92.</span>

</li>

<li id="cite_note-2"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-2">↑</a></span> <span class="reference-text">Kuno Fladt: <i>Analytische Geometrie spezieller Flächen und Raumkurven.</i> Springer-Verlag, 2013, ISBN 978-3-322-85365-3, S. 132.</span>

</li>

<li id="cite_note-Walser-3"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Walser_3-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Hans Walser: <i>Spiralen, Schraubenlinien und spiralartige Figuren - Mathematische Spielereien in zwei und drei Dimensionen</i>, <a href="Springer_Spektrum" title="Springer Spektrum">Springer Spektrum</a>, Springer-Verlag GmbH <a href="Berlin" title="Berlin">Berlin</a> 2022, ISBN 978-3-662-65131-5, Seiten 95–96</span>

</li>

<li id="cite_note-kunstlexikon-4"><span class="mw-cite-backlink">↑ <sup><a href="#cite_ref-kunstlexikon_4-0">a</a></sup> <sup><a href="#cite_ref-kunstlexikon_4-1">b</a></sup></span> <span class="reference-text">Wolf Stadler u. a.: <i>Lexikon der Kunst 11. Sem – Tot.</i> Karl Müller Verlag, Erlangen 1994, ISBN 3-86070-452-4, S. 113.</span>

</li>

<li id="cite_note-Brunner-5"><span class="mw-cite-backlink"><a href="#cite_ref-Brunner_5-0">↑</a></span> <span class="reference-text">Henri Brunner: <i>Rechts oder links – in der Natur und anderswo.</i> Wiley-VCH, Weinheim 1999, ISBN 3-527-29974-2, S. 45–65.</span>

</li>

</ol>

<div>

Normdaten (Sachbegriff): <a href="Gemeinsame_Normdatei" title="Gemeinsame Normdatei">GND</a>: <span class="-print"><a rel="nofollow" class="external text" href="https://d-nb.info/gnd/4182346-1">4182346-1</a></span> </div>

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